Módulo 1 - Ejercicio 12

- Si en la figura AB y AC son congruentes, ademas BD y CD son congruentes, entonces ¿Cuáles son los valores de X y Y en grados?

Imagen 1

Nota:

Para resolver este ejercicio, es necesario diagramas nuevamente (re-construir la imagen), dividiendo esta en figuras que ya se han trabajado en el curso; por ejemplo como a continuación se muestra.

Imagen 2

Nótese que, al reconstruir la Imagen 1 esta quedó dividida en cuatro triángulos rectángulos (Imagen 2) con los cuales podemos a utilizar algunos recursos para intentar resolver el problema.

Solución

Fíjese que la Imagen 2 esta dividida en triángulos rectángulos; como ya conocemos teoremas y criterios de semejanza para hallar valores en este, utilizaremos ese conocimiento para resolver el problema.

Para ello, entonces, tomaremos uno de esos triángulos rectángulos, de los cuáles tengamos mas datos y hallaremos el que haga falta; por ejemplo: 

Imagen 3

La Imagen 3 especifica que se ha tomado una parte del triangulo ABC; se ha invertido su sentido y al ángulo recto formado se le ha nombrado "Z"; a partir de aquí se inicia el planteamiento de las ecuaciones.

Para el triángulo ACZ, por teorema, tenemos que

A + C + Z = 180°  reemplazamos los valores

42° + C + 90° = 180° se despeja la incognita (ojo con el cambio de los signos)

C = 180° - 42° - 90° se realiza la operación indicada

C = 180° - 132°

C = 48°

Imagen 4

Teniendo claro que C = 48°  fíjese en la Imagen 4 y note que en el triángulo ABC, los angulos C y B son congruentes; eso quiere decir que para hallar el valor de ese ángulo podemos utilizar un criterio de congruencia, específicamente Angulo - Lado - Angulo (ALA), entonces

Por criterio de congruencia, se tiene que

B = C

B = 48°

Quiere decir que ya se tienen los valores para C y B, siendo ambos de 48°; queda calcular cual es el valor de la incognita Y, y para ello proponemos lo siguiente:

Imagen 5

Tal y como muestra la Imagen 5 extraemos en del triángulo ABC, el segmento ABZ; entonces planteamos la ecuación usando los teoremas aprendidos

Por teorema tenemos que

A + B + Z = 180° reemplazamos los valores en la ecuación

Y - 26° + 48° + 90° = 180° se despeja la incógnita (tenga presente los signos) 

Y = 180° + 26° - 48° - 90° realizamos las operaciones

Y = 206° - 138°

Y = 68°

* Realizamos una pequeña prueba para comprobar; si es cierto, al sumar los valores de A, B y C, teniendo presente el teorema, el resultado debe ser 180°, miremos:

Para el triángulo ABC, tenemos los valores hallados

A = (Y - 26°) + 42°   = (68° - 26°) +42°    = 42°  + 42°   = 84°      

B = 48°      

C = 48°

Por teorema se tiene que

A + B + C = 180°  reemplazamos valores

84° + 48° + 48° = 180° realizamos la operación indicada

180° = 180°

Como dicha igualdad (180° = 180°) es verdadera, entonces los valores hallados para C, B, y Y son verdaderos.

Nota: Si entendió el procedimiento, por favor aplíquelo para hallar el valor de X en el triángulo BCD, de ser correcto el procedimiento, la respuesta a la pregunta inicial debe ser:

Los valores en grados de las incógnitas X y Y son:

X = 5°     Y = 68°